构造

本页面将简要介绍构造题这类题型。

引入

构造题是比赛中常见的一类题型。

从形式上来看,问题的答案往往具有某种规律性,使得在问题规模迅速增大的时候,仍然有机会比较容易地得到答案。

这要求解题时要思考问题规模增长对答案的影响,这种影响是否可以推广。例如,在设计动态规划方法的时候,要考虑从一个状态到后继状态的转移会造成什么影响。

特点

构造题一个很显著的特点就是高自由度,也就是说一道题的构造方式可能有很多种,但是会有一种较为简单的构造方式满足题意。看起来是放宽了要求,让题目变的简单了,但很多时候,正是这种高自由度导致题目没有明确思路而无从下手。

构造题另一个特点就是形式灵活,变化多样。并不存在一个通用解法或套路可以解决所有构造题,甚至很难找出解题思路的共性。

例题

下面将列举一些例题帮助读者体会构造题的一些思想内涵,给予思路上的启发。建议大家深入思考后再查看题解,也欢迎大家参与分享有趣的构造题。

例题 1

Codeforces Round #384 (Div. 2) C.Vladik and fractions

构造一组 ,使得对于给定的 ,满足

解题思路

从样例二可以看出本题的构造方法。

显然 为一组合法解。特殊地,当 时,无解,这是因为 此时相等。

至于构造思路是怎么产生的,大概就是观察样例加上一点点数感了吧。此题对于数学直觉较强的人来说并不难。

例题 2

Luogu P3599 Koishi Loves Construction

Task1:试判断能否构造并构造一个长度为 的排列,满足其 个前缀和在模 的意义下互不相同

Taks2:试判断能否构造并构造一个长度为 的排列,满足其 个前缀积在模 的意义下互不相同

解题思路

对于 task1:

为奇数时,无法构造出合法解;

为偶数时,可以构造一个形如 这样的数列。

首先,我们可以发现 必定出现在数列的第一位,否则 出现前后的两个前缀和必然会陷入模意义下相等的尴尬境地;

然后,我们考虑构造出整个序列的方式:

考虑通过构造前缀和序列的方式来获得原数列,可以发现前缀和序列两两之间的差在模意义下不能相等,因为前缀和序列的差分序列对应着原来的排列。

因此我们尝试以前缀和数列在模意义下为

这样的形式来构造这个序列,不难发现它完美地满足所有限制条件。

对于 task2:

为除 以外的合数时,无法构造出合法解

为质数或 时,可以构造一个形如 这样的数列

先考虑什么时候有解:

显然,当 为合数时无解。因为对于一个合数来说,存在两个比它小的数 使得 ,如 。那么,当 均出现过后,数列的前缀积将一直为 ,故合数时无解。特殊地,我们可以发现 ,无满足条件的 ,因此存在合法解。

我们考虑如何构造这个数列:

和 task1 同样的思路,我们发现 必定出现在数列的第一位,否则 出现前后的两个前缀积必然相等;而 必定出现在数列的最后一位,因为 出现位置后的所有前缀积在模意义下都为 。手玩几组样例以后发现,所有样例中均有一组合法解满足前缀积在模意义下为 ,因此我们可以构造出上文所述的数列来满足这个条件。那么我们只需证明这 个数互不相同即可。

我们发现这些数均为 的逆元 ,因此各不相同,此题得解。

例题 3

AtCoder Grand Contest 032 B

给定一个整数 ,试构造一个节点数为 无向图。令节点编号为 ,要求其满足以下条件:

  • 这是一个简单连通图。
  • 存在一个整数 使得对于任意节点,与其相邻节点的下标和为

保证输入数据有解。

解题思路

手玩一下 的情况,我们可以找到一个构造思路。

构造一个完全 分图,保证这 部分和相等。则每个点的 均相等,为

如果 为偶数,那么我们可以前后两两配对,即

如果 为奇数,那么我们可以把 单拿出来作为一组,剩余的 个两两配对,即

这样构造出的图在 时连通性易证,在此不加赘述。

此题得解。

例题 4

BZOJ 4971「Lydsy1708 月赛」记忆中的背包

经过一天辛苦的工作,小 Q 进入了梦乡。他脑海中浮现出了刚进大学时学 01 背包的情景,那时还是大一萌新的小 Q 解决了一道简单的 01 背包问题。这个问题是这样的:

给定 个物品,每个物品的体积分别为 ,请计算从中选择一些物品(也可以不选),使得总体积恰好为 的方案数。因为答案可能非常大,你只需要输出答案对 取模的结果。

因为长期熬夜刷题,他只看到样例输入中的 ,以及样例输出是 ,看不清到底有几个物品,也看不清每个物品的体积是多少。直到梦醒,小 Q 也没有看清 ,请写一个程序,帮助小 Q 一起回忆曾经的样例输入。

解题思路

这道题是自由度最高的构造题之一了。这就导致了没有头绪,难以入手的情况。

首先,不难发现模数是假的。由于我们自由构造数据,我们一定可以让方案数不超过模数。

通过奇怪的方式,我们想到可以通过构造 个 代价为 的小物品和几个代价大于 的大物品。

由于大物品只能取一件,所以每个代价为 的大物品对方案数的贡献为

表示有 ,方案数为 的最小大物品数。

用 dp 预处理出 ,通过计算可知只需预处理 的所有值即可。

此题得解。