堆排序

本页面将简要介绍堆排序。

定义

堆排序(英语:Heapsort)是指利用 二叉堆 这种数据结构所设计的一种排序算法。堆排序的适用数据结构为数组。

过程

堆排序的本质是建立在堆上的选择排序。

排序

首先建立大顶堆,然后将堆顶的元素取出,作为最大值,与数组尾部的元素交换,并维持残余堆的性质;

之后将堆顶的元素取出,作为次大值,与数组倒数第二位元素交换,并维持残余堆的性质;

以此类推,在第 次操作后,整个数组就完成了排序。

在数组上建立二叉堆

从根节点开始,依次将每一层的节点排列在数组里。

于是有数组中下标为 i 的节点,对应的父结点、左子结点和右子结点如下:

1
2
3
iParent(i) = (i - 1) / 2;
iLeftChild(i) = 2 * i + 1;
iRightChild(i) = 2 * i + 2;

性质

稳定性

同选择排序一样,由于其中交换位置的操作,所以是不稳定的排序算法。

时间复杂度

堆排序的最优时间复杂度、平均时间复杂度、最坏时间复杂度均为

空间复杂度

由于可以在输入数组上建立堆,所以这是一个原地算法。

实现

C++

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
// C++ Version
void sift_down(int arr[], int start, int end) {
  // 计算父结点和子结点的下标
  int parent = start;
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child <= end) {  // 子结点下标在范围内才做比较
    // 先比较两个子结点大小,选择最大的
    if (child + 1 <= end && arr[child] < arr[child + 1]) child++;
    // 如果父结点比子结点大,代表调整完毕,直接跳出函数
    if (arr[parent] >= arr[child])
      return;
    else {  // 否则交换父子内容,子结点再和孙结点比较
      swap(arr[parent], arr[child]);
      parent = child;
      child = parent * 2 + 1;
    }
  }
}

void heap_sort(int arr[], int len) {
  // 从最后一个节点的父节点开始 sift down 以完成堆化 (heapify)
  for (int i = (len - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) sift_down(arr, i, len - 1);
  // 先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换,再重新调整(刚调整的元素之前的元素),直到排序完毕
  for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
    swap(arr[0], arr[i]);
    sift_down(arr, 0, i - 1);
  }
}

Python

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
# Python Version
def sift_down(arr, start, end):
    # 计算父结点和子结点的下标
    parent = int(start)
    child = int(parent * 2 + 1)
    while child <= end: # 子结点下标在范围内才做比较
        # 先比较两个子结点大小,选择最大的
        if child + 1 <= end and arr[child] < arr[child + 1]:
            child += 1
        # 如果父结点比子结点大,代表调整完毕,直接跳出函数
        if arr[parent] >= arr[child]:
            return
        else: # 否则交换父子内容,子结点再和孙结点比较
            arr[parent], arr[child] = arr[child], arr[parent]
            parent = child
            child = int(parent * 2 + 1)

def heap_sort(arr, len):
  # 从最后一个节点的父节点开始 sift down 以完成堆化 (heapify)
    i = (len - 1 - 1) / 2
    while(i >= 0):
        sift_down(arr, i, len - 1)
        i -= 1
  # 先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换,再重新调整(刚调整的元素之前的元素),直到排序完毕
    i = len - 1
    while(i > 0):
        arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
        sift_down(arr, 0, i - 1)
        i -= 1

外部链接