同余最短路

当出现形如“给定 个整数,求这 个整数能拼凑出多少的其他整数( 个整数可以重复取)”,以及“给定 个整数,求这 个整数不能拼凑出的最小(最大)的整数”,或者“至少要拼几次才能拼出模 的数”的问题时可以使用同余最短路的方法。

同余最短路利用同余来构造一些状态,可以达到优化空间复杂度的目的。

类比 差分约束 方法,利用同余构造的这些状态可以看作单源最短路中的点。同余最短路的状态转移通常是这样的 ,类似单源最短路中

例题

例题一

P3403 跳楼机

题目大意:给定 ,对于 ,有多少个 能够满足 。(

不妨假设

为只通过 操作 2操作 3,需满足 能够达到的最低楼层 ,即 操作 2操作 3 操作后能得到的模 下与 同余的最小数,用来计算该同余类满足条件的数个数。

可以得到两个状态:

注意通常选取一组 中最小的那个数对它取模,也就是此处的 ,这样可以尽量减小空间复杂度(剩余系最小)。

那么实际上相当于执行了最短路中的建边操作:

add(i, (i+y) % x, y)

add(i, (i+z) % x, z)

接下来只需要求出 ,只需要跑一次最短路就可求出相应的

与差分约束问题相同,当存在一组解 时, 同样为一组解,因此在该题让 作为源点,此时源点处的 在已知范围内最小,因此得到的也是一组最小的解。

答案即为:

加 1 是由于 所在楼层也算一次。

参考实现
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  #include <bits/stdc++.h>

  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int maxn = 100010;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;

  ll h, x, y, z;
  ll head[maxn << 1], tot;
  ll dis[maxn], vis[maxn];
  queue<int> q;

  struct edge {
    ll to, next, w;
  } e[maxn << 1];

  void add(ll u, ll v, ll w) {
    e[++tot] = edge{v, head[u], w};
    head[u] = tot;
  }

  void spfa() {  // spfa算法,可看最短路部分
    dis[1] = 1;
    vis[1] = 1;
    q.push(1);
    while (!q.empty()) {
      int u = q.front();
      q.pop();
      vis[u] = 0;
      for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to, w = e[i].w;
        if (dis[v] > dis[u] + w) {
          dis[v] = dis[u] + w;
          if (!vis[v]) {
            q.push(v);
            vis[v] = 1;
          }
        }
      }
    }
  }

  int main() {
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    scanf("%lld", &h);
    scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &z);
    if (x == 1 || y == 1 || z == 1) {
      printf("%lld\n", h);
      return 0;
    }
    for (int i = 0; i < x; i++) {
      add(i, (i + z) % x, z);
      add(i, (i + y) % x, y);
    }
    spfa();
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < x; i++) {
      if (h >= dis[i]) ans += (h - dis[i]) / x + 1;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
  }

例题二

ARC084B Small Multiple

题目大意:给定 ,求 的倍数中,数位和最小的那一个的数位和。(

本题可以使用循环卷积优化完全背包在 的时间内解决,但我们希望得到线性的算法。

观察到任意一个正整数都可以从 开始,按照某种顺序执行乘 、加 的操作,最终得到,而其中加 操作的次数就是这个数的数位和。这提示我们使用最短路。

对于所有 ,从 连边权为 的边;从 连边权为 的边。(点的编号均在模 意义下)

每个 的倍数在这个图中都对应了 号点到 号点的一条路径,求出 的最短路即可。某些路径不合法(如连续走了 条边权为 的边),但这些路径产生的答案一定不优,不影响答案。

时间复杂度

习题

洛谷 P3403 跳楼机

洛谷 P2662 牛场围栏

[国家集训队]墨墨的等式

「NOIP2018」货币系统

AGC057D - Sum Avoidance