环论

前置知识：抽象代数基本概念、群论

引入

环论（ring theory）研究形形色色的环。

本文涉及的环论的内容，与数论中的整除理论密不可分。首先，类似群论中的正规子群，本文首先介绍环同态的核，它称作环的理想；其实，这是数论中的数的概念在一般环的推广。然后，考虑将整数环上的素数、辗转相除法、质因子分解等概念推广到一般的环上，就有了不同类型的整环的概念。

数论中的很多结论在其它常见的环上，都依然成立。可以说，环论的一部分工作，就是在讨论使得这些数论中的结论在一般的环上能否成立；如果不能，需要给环施加怎样的限制才能够使这些结论成立。

理想

类似群的情形，可以建立子环和环同态的概念。

例子：整数环

对于任何整数 ，都有 是 的一个子环。

例子：整数环 （续）

对任何非零整数 取模的映射，即 ，其中，，都是环同态。

对群同态的核和像的 讨论 可以几乎原封不动地搬到此处。同态的像的（相对）大小决定了同态是否是满射，而同态的核的平凡与否则决定了同态是否是单射。环同态的核定义如下：

显然，环同态的核和像都是子环。反过来，并不是所有子环都可以成为某个环同态的核。能够成为环同态的核的子环称为环的理想。

这里要求理想 对环 的左乘和右乘都封闭。这个条件是自然的。因为，理想中的元素在环同态中会映射到零元，而任何数左乘或右乘以零都应该等于零，这就是所要求的封闭性。除此之外，因为环的加法结构是 Abel 群，任何子群都是正规子群；而环的乘法结构又十分原始，不会对子结构施加额外的限制。这就说明，对左乘和右乘封闭这个条件也是充分的。

例子：整数环 （续）

作为例子，前面提到的子环 其实是 的理想。它是所有 的倍数构成的集合。一个 的倍数，与任何整数相乘，都会得到 的倍数。事实上， 的全部理想都是这样的形式，这样的环称为 主理想整环。对于一般的环，有些理想并不是某个元素的倍数的集合；这样的一般的环的存在，也正是研究理想（而不是简单地研究倍数）的最初动机¹。

商环

和群一样，基于环的理想，可以在全体（加法群意义上的）陪集的集合上定义 商环（quotient ring）。考虑集合

这里，陪集 。可以证明当且仅当 是理想时，运算

是良定义的，即这些运算的结果和陪集中代表元的选取无关。在这些运算下， 构成环。再次和群的情形一致，可以建立环的 第一同构定理（first isomorphism theorem），并存在环到其商环的自然同态。这些证明，环的理想和群的正规子群，在相应结构的同态中起到了一样的作用。

例子：整数环 （续）

作为例子，整数模 的同余类构成的环 是 模它的理想 得到的商环。这也解释了符号 的含义。上面提到的模 的映射 就是这里提到的自然映射，相应的核正是理想 。

在环的情形，同样成立其他同构定理。

这些定理在后文中讨论环和理想的结构时将起到基础的作用。

理想的运算

环的理想上可以定义各种运算。这类似于整数的整除结构上可以定义最大公约数、最小公倍数等概念。

容易验证，这些运算的结果都依然是环的理想。

例子：整数环 （续）

考虑整数环 的情形。对于理想 和 ，可以得到

一般地，对于环 和它的理想 和 ，总有

利用这些定义，可以将整数的中国剩余定理推广到一般的环上。但在此之前，还需要进一步将诸如素数和互素等概念推广到一般的环上。

极大理想

通过环的理想的结构，可以理解环的性质。

非零环 总有两个平凡的理想，即 和 。如果环 还是交换的，那么只有这两个理想的环能且只能是域²。

这里交换环的条件是必要的；不然，需要同时限制左理想和右理想都是平凡的，才能保证环是除环。

这里的结论可以推广到环本身不是域的情形。但是，此时需要转而考虑商环，讨论交换非零幺环的商环是域的条件。商环 是域，这意味着商环 中只有平凡理想，根据对应定理可知，原来的环 中没有严格介于模掉的理想 和原来的环 之间的理想。这样的理想 称为极大理想。

例子：整数环 （续）

例如，整数环 中的理想 是极大理想，当且仅当 是素数。对于素数 ，商环 是域，也记作 。

并不是所有的环都有极大理想，但是非零幺环中总是有极大理想。

极大理想，类比到整除理论中就是不可约元。这是因为，理想的包含关系就是整数的整除关系；没有作为超集的理想，就相当于没有可以除尽的因子。但是，极大理想的概念比不可约元更为宽泛，这是因为并不是所有的理想都是主理想。

素理想

域的条件比整环的更为苛刻。能够确保商环是整环的理想称为素理想，它类似于整除理论中的素数的概念。

这个定义看起来稍显突兀，但是对比素数的定义，这个素理想的定义也是自然的。

在整数环 中， 是极大理想和素理想，当且仅当 是素数。在一般的交换环中，极大理想总能推出素理想，当然反之未必成立；这从它们对应的商环的性质上可以看出来。

稍后要看到，只有在那些具有良好性质、足够与整数环相似的环中，逆命题才成立。

主理想

类似子群的概念，在环的讨论中也常需要考虑由某个子集生成的理想。

对于集合 ，可以给出其生成的理想的构造。首先，有如下定义

其实它们分别是 生成的左理想和右理想。然后，由子集 生成的理想就是 。对于交换环，定义出来的这些结构都相同。

整数环中的所有理想 都是主理想，下文中常记作 。

整环

整环是交换、含幺、无零因子的非零环。这个概念正是整数环的推广。但是，这样得到的环性质未必足够好到允许将整数的整除理论中的每个结论都原样照搬过来。为了能够推广数论中的结论，可以在整环上进一步作出限制。其中，最为常见的三种整环分别是欧几里得整环、主理想整环和唯一分解整环；前面的概念严格地包含在后面的概念中。

整除关系

首先，这里将整数的整除理论中的相关概念推广到一般的交换环上。

整除关系是环上的 偏序 关系，而相伴关系是环上的等价关系。从理想的角度看， 等价于 ， 和 相伴等价于 。因而，在讨论环中的元素时，通常不计较相伴元之间的差异。和整数的情形类似，交换环中 和 的最大公因子就定义为 的下确界。

在整环中，最大公因子在相伴意义下是唯一确定的。下面的讨论就限制在整环中。

整环中还可以建立类似素数的概念。在整数理论中，素数存在着两个等价的定义，但是在一般的整环中，这两个定义对应着不同的概念：

可以说明，不可约元 对应的主理想 一定是环的所有主理想中极大的；但是，一般的整环中，并非所有理想都是主理想，所以不可约元和极大理想的概念并不等价。

类似于证明主理想整环中，素理想一定是极大理想，一般地可以证明如下结论：

反过来，这一结论并不成立。

欧几里得整环

相关阅读：（扩展）欧几里得算法、裴蜀定理

欧几里得整环是允许做辗转相除法（即欧几里得算法）的整环。

这个定义其实就是整数中的带余除法的推广。范数的存在使得能够衡量余数和除数的相对大小。这样在辗转相除的时候，对应的余数的范数也在不断下降；因为范数取值在自然数上，这样的过程必然结束在 时。这样，就得到了欧几里得整环上的辗转相除法。

能够做辗转相除法，这意味着欧几里得整环上能够高效地计算最大公因子。完全类比整数的整除理论，可以证明，辗转相除法的结果一定是最大公因子，而且裴蜀定理成立，其中的系数可以通过扩展欧几里得算法确定。

注意到，在环论的语言中，所有形如 的元素正是理想 中的元素，而这一定理就说明了 一定是主理想 。

其实，欧几里得整环中的理想一定是主理想。

主理想整环

所有理想都是主理想的整环叫做主理想整环。这是性质相当良好，也十分常见的一类整环。在这些整环中，环中理想的概念就等同于整数中倍数的概念。

因而，上一节最后一个定理就可以复述如下：

在主理想整环中，极大理想就等价于不可约元生成的理想。类似整数中素数和不可约元是等价的，主理想整环中，这两个概念也是等价的，故而极大理想和素理想也是完全等价的。

上一节中对裴蜀定理的分析可以迁移到主理想整环上。

也就是说，主理想整环中 裴蜀定理 依然成立。同样是存在最大公因子，欧几里得整环和主理想整环的最大区别在于在前者中，最大公因子可以通过辗转相除法高效地计算，但是主理想整环中一般并没有这样的高效算法。

唯一分解整环

比主理想整环更一般的概念是唯一分解整环。整数的唯一分解定理称为 算术基本定理。类似的唯一分解定理其实在一些并非主理想整环的整环中依然成立。这样的整环叫做唯一分解整环。

算术基本定理说明，整数环 是唯一分解整环。

前文给出了不可约元不是素元的反例，其中涉及的整环 中唯一分解定理不再成立。但是，在所有唯一分解整环上，不可约元和素元都是等价的。

所有的主理想整环都是唯一分解整环。

最后，最大公因子的存在性在唯一分解整环上依然成立。

这其实说明，最大公因子存在这个性质比唯一分解定理成立还要弱³。

例子：二次整数环

相关阅读：二次域

抽象代数的理解不能离开例子。正是因为费马大定理的研究过程需要研究一类代数整数的性质，才逐渐发展出了今天的环论⁴。这里讨论最简单的代数整数，即二次整数。这部分的很多结论的证明需要用到复杂的代数数论知识，故而略去。

二次整数（quadratic integer）指的是二次项系数为一的整系数二次方程 的复根。所有二次整数能且仅能有形式

这里，

其中， 没有平方因子。

分析

根据二次方程求根公式，可以知道这个方程的根一定可以写成

当 是奇数时，这个根可以写作

否则，当 是偶数时，这个根可以写作

从而可以归纳得知二次整数必然有上述形式。

容易验证，对于这样的 ，集合 构成环。这称为 二次整数环（quadratic integer ring），它的分式域就是二次域 。当 时，所有二次整数都是实数，故而也称作 实二次整数环；当 时，除了整数外的二次整数都是复数，故而也称作 虚二次整数环。

所有二次整数环 都是整环。其中，当 时，（或记作 ）也称 Gauss 整数环；当 时， 则称为 Eisenstein 整数环。

对于二次整数 ，可以定义它的 共轭（conjugate）是 ，其中，

注意，因为 时，二次整数是实数，所以这里的共轭的概念和复数的共轭的概念并不是完全一致的，但它们都是域论中代数元的共轭的概念的特例。共轭的二次整数是同一个整系数二次方程的根。

在二次整数环上可以定义 范数

二次整数的范数一定是整数。特别地，当 时，范数一定是自然数。范数保持乘法结构，即 。

二次整数环中的可逆元（单位）能且仅能是那些范数是 的元素。对于 的情形，这就相当于考虑 Pell 方程 或 的解。对于 的情形，容易验证，除了 Gauss 整数环 中可逆元是 和 Eisenstein 整数环 中可逆元是 这两种特殊情形外，其余的可逆元都只有 。

二次整数环上定义的范数 可以用来证明它是欧几里得整环。对于 的情形，需要使用它的绝对值 来作为欧几里得整环定义中的范数。利用这样得到的范数，能够证明在 时，

或者在 时，

这些整数对应的二次整数环是在模 下的欧几里得整环。但是，欧几里得整环定义中的范数未必是上述定义的范数。比如在 时，相应的二次整数环也是欧几里得整环，但是需要用到别的范数。对于 的情形，可以证明上面给出的情形就是二次整数环中所有的欧几里得整环。

利用更为复杂的方法，还可以判断某个二次整数环是否是主理想整环。可以证明当 时，只有

对应的二次整数环是主理想整环。比较上面的结果，可以知道诸如 的情形提供了主理想整环不是欧几里得整环的例子。当 时，目前尚没有完整的结果。

但是，可以证明，在二次整数环中，唯一分解整环和主理想整环是等价的。上面的结果说明，比如说 就不是主理想整环，因而也不是唯一分解整环。之前已经通过例子实际证明过了它不能唯一分解，即

利用同样的例子，可以说明理想 也不是主理想。稍后会看到，是唯一分解整环但不是主理想整环的一个简单例子是多项式环 。

尽管很多二次整数环并不是唯一分解整环，但是它们都是 Dedekind 整环。这意味着，所有二次整数环中的非平凡理想都可以唯一分解为一系列素理想之积。但如果二次整数环本身并非主理想整环，这些素理想因子并不一定对应着素元，因而唯一分解定理（即数分解成素数的乘积）不再成立：这也是研究理想而不是数的最初动机。

多项式环

相关阅读：多项式技术简介

在算法竞赛中，时常会遇到多项式的各种运算。多项式的乘法、取逆、取余等运算可以看作数的运算在多项式环上的推广。利用抽象代数的语言，可以更快地理解多项式环上相关运算的性质。

多项式

对于非零交换幺环 ，一个 上的 多项式（polynomial）是指形式和

其中，，且对于每个 ，都有 。这些 称为多项式的 系数（coefficient），相应的 称为多项式的 项（term）。项 中的 称为该项的 次数（degree）。

所有系数都为零（即零元）的多项式称为 零多项式（zero polynomial），记作 。对于其它多项式，不妨设 ，即 是系数不为零的项中次数最高的项。此时，自然数 称为多项式的 次数（degree），而它所在的项 称为 最高次项（leading term）， 也称为 最高次项系数（leading coefficient）。最高次项系数等于一（即幺元）的多项式称为 首一（monic）多项式。零多项式的次数不予指定，或者规定为 。

多项式记号中出现的 称为多项式的 不定元（indeterminate）。它本身没有任何含义，也没有取值范围。它的存在，仅仅是通过它的指数标记系数的位置。所以，多项式也可以写作 上的数列

但是，这样的数列只能出现有限多个不为零的项。如果两个多项式对应的系数数列一样，就称两个多项式相等。这相当于在补齐系数为零的项后，它们的形式和完全一致。下文中，不再区分相等的多项式的形式和的记号：如果必要，读者可以自行补齐系数中空缺的零。

有时候需要将环中的元素代入多项式中的不定元。比如设 是 的多项式且 ，则将 代入多项式 的结果就是 。它的含义是：在多项式的形式和中，将 替换成 ，就能得到 中的算术表达式，而 就是这个表达式在 中运算得到的结果。

对于多项式