位运算

位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据,位运算是相当快的。

基本的位运算共 种,分别为按位与、按位或、按位异或、按位取反、左移和右移。

为了方便叙述,下文中省略“按位”。

与、或、异或

这三者都是两数间的运算,因此在这里一起讲解。

它们都是将两个整数作为二进制数,对二进制表示中的每一位逐一运算。

运算运算符数学符号表示解释
&只有两个对应位都为 时才为
|只要两个对应位中有一个 时就为
异或^只有两个对应位不同时才为

注意区分逻辑与(对应的数学符号为 )和按位与、逻辑或()和按位或的区别。网络中的资料中使用的符号多有不规范之处,以上下文为准。

异或运算的逆运算是它本身,也就是说两次异或同一个数最后结果不变,即

举例:

取反

取反是对一个数 进行的位运算,即单目运算。

取反暂无默认的数学符号表示,其对应的运算符为 ~。它的作用是把 的二进制补码中的 全部取反( 变为 变为 )。有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。

补码:在二进制表示下,正数和 的补码为其本身,负数的补码是将其对应正数按位取反后加一。

举例(有符号整数):

左移和右移

num << i 表示将 的二进制表示向左移动 位所得的值。

num >> i 表示将 的二进制表示向右移动 位所得的值。

举例:

移位运算中如果出现如下情况,则其行为未定义:

  1. 右操作数(即移位数)为负值;
  2. 右操作数大于等于左操作数的位数;

例如,对于 int 类型的变量 aa<<-1a<<32 都是未定义的。

对于左移操作,需要确保移位后的结果能被原数的类型容纳,否则行为也是未定义的。1对一个负数执行左移操作也未定义。2

对于右移操作,右侧多余的位将会被舍弃,而左侧较为复杂:对于无符号数,会在左侧补 ;而对于有符号数,则会用最高位的数(其实就是符号位,非负数为 ,负数为 )补齐。3

复合赋值位运算符

+= , -= 等运算符类似,位运算也有复合赋值运算符: &= , |= , ^= , <<= , >>= 。(取反是单目运算,所以没有。)

关于优先级

位运算的优先级低于算术运算符(除了取反),而按位与、按位或及异或低于比较运算符(详见 运算页面 ),所以使用时需多加注意,在必要时添加括号。

位运算的应用

位运算一般有三种作用:

  1. 高效地进行某些运算,代替其它低效的方式。

  2. 表示集合。(常用于 状压 DP 。)

  3. 题目本来就要求进行位运算。

需要注意的是,用位运算代替其它运算方式(即第一种应用)在很多时候并不能带来太大的优化,反而会使代码变得复杂,使用时需要斟酌。(但像“乘 2 的非负整数次幂”和“除以 2 的非负整数次幂”就最好使用位运算,因为此时使用位运算可以优化复杂度。)

有关 2 的幂的应用

由于位运算针对的是变量的二进制位,因此可以推广出许多与 2 的整数次幂有关的应用。

将一个数乘(除) 2 的非负整数次幂:

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// C++ Version
int mulPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n*(2^m)
  return n << m;
}
int divPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n/(2^m)
  return n >> m;
}
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# Python Version
def mulPowerOfTwo(n, m): # 计算 n*(2^m)
    return n << m
def divPowerOfTwo(n, m): # 计算 n/(2^m)
    return n >> m

Warning

我们平常写的除法是向 取整,而这里的右移是向下取整(注意这里的区别),即当数大于等于 时两种方法等价,当数小于 时会有区别,如: -1 / 2 的值为 ,而 -1 >> 1 的值为

取绝对值

在某些机器上,效率比 n > 0 ? n : -n 高。

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// C++ Version
int Abs(int n) {
  return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
  /* n>>31 取得 n 的符号,若 n 为正数,n>>31 等于 0,若 n 为负数,n>>31 等于 -1
     若 n 为正数 n^0=n, 数不变,若 n 为负数有 n^(-1)
     需要计算 n 和 -1 的补码,然后进行异或运算,
     结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1,再减去 -1 就是绝对值 */
}
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# Python Version
def Abs(n):
    return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31)
    """
    n>>31 取得 n 的符号,若 n 为正数,n>>31 等于 0,若 n 为负数,n>>31 等于 -1
    若 n 为正数 n^0=n, 数不变,若 n 为负数有 n^(-1)
    需要计算 n 和 -1 的补码,然后进行异或运算,
    结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1,再减去 -1 就是绝对值
    """

取两个数的最大/最小值

在某些机器上,效率比 a > b ? a : b 高。

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// C++ Version
// 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0,否则为 -1
int max(int a, int b) { return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31); }
int min(int a, int b) { return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31); }
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# Python Version
# 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0,否则为 -1
def max(a, b):
    return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31)
def min(a, b):
    return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31)

判断两非零数符号是否相同

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// C++ Version
bool isSameSign(int x, int y) {  // 有 0 的情况例外
  return (x ^ y) >= 0;
}
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# Python Version
# 有 0 的情况例外
def isSameSign(x, y):
    return (x ^ y) >= 0

交换两个数

该方法具有局限性

这种方式只能用来交换两个整数,使用范围有限。

对于一般情况下的交换操作,推荐直接调用 algorithm 库中的 std::swap 函数。

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void swap(int &a, int &b) { a ^= b ^= a ^= b; }

操作一个数的二进制位

获取一个数二进制的某一位:

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// C++ Version
// 获取 a 的第 b 位,最低位编号为 0
int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }
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# Python Version
# 获取 a 的第 b 位,最低位编号为 0
def getBit(a, b):
    return (a >> b) & 1

将一个数二进制的某一位设置为

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// C++ Version
// 将 a 的第 b 位设置为 0 ,最低位编号为 0
int unsetBit(int a, int b) { return a & ~(1 << b); }
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# Python Version
# 将 a 的第 b 位设置为 0 ,最低位编号为 0
def unsetBit(a, b):
    return a & ~(1 << b)

将一个数二进制的某一位设置为

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// C++ Version
// 将 a 的第 b 位设置为 1 ,最低位编号为 0
int setBit(int a, int b) { return a | (1 << b); }
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# Python Version
# 将 a 的第 b 位设置为 1 ,最低位编号为 0
def setBit(a, b):
    return a | (1 << b)

将一个数二进制的某一位取反:

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// C++ Version
// 将 a 的第 b 位取反 ,最低位编号为 0
int flapBit(int a, int b) { return a ^ (1 << b); }
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# Python Version
# 将 a 的第 b 位取反 ,最低位编号为 0
def flapBit(a, b):
    return a ^ (1 << b)

这些操作相当于将一个 位整型变量当作一个长度为 的布尔数组。

汉明权重

汉明权重是一串符号中不同于(定义在其所使用的字符集上的)零符号(zero-symbol)的个数。对于一个二进制数,它的汉明权重就等于它 的个数(即 popcount)。

求一个数的汉明权重可以循环求解:我们不断地去掉这个数在二进制下的最后一位(即右移 位),维护一个答案变量,在除的过程中根据最低位是否为 更新答案。

代码如下:

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// 求 x 的汉明权重
int popcount(int x) {
    int cnt = 0;
    while (x) {
        cnt += x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return cnt;
}

求一个数的汉明权重还可以使用 lowbit 操作:我们将这个数不断地减去它的 lowbit4,直到这个数变为

代码如下:

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// 求 x 的汉明权重
int popcount(int x) {
    int cnt = 0;
    while (x) {
        cnt++;
        x -= x & -x;
    }
    return cnt;
}

构造汉明权重递增的排列

状压 DP 中,按照 popcount 递增的顺序枚举有时可以避免重复枚举状态。这是构造汉明权重递增的排列的一大作用。

下面我们来具体探究如何在 时间内构造汉明权重递增的排列。

我们知道,一个汉明权重为 的最小的整数为 。只要可以在常数时间构造出一个整数汉明权重相等的后继,我们就可以通过枚举汉明权重,从 开始不断寻找下一个数的方式,在 时间内构造出 的符合要求的排列。

而找出一个数 汉明权重相等的后继有这样的思路,以 为例:

  • 最右边的 向左移动,如果不能移动,移动它左边的 ,以此类推,得到

  • 把得到的 最后移动的 原先的位置一直到最低位的所有 都移到最右边。这里最后移动的 原来在第三位,所以最后三位 要变成 ,得到

这个过程可以用位运算优化:

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int t = x + (x & -x);
x = t | ((((t&-t)/(x&-x))>>1)-1);
  • 第一个步骤中,我们把数 加上它的 lowbit,在二进制表示下,就相当于把 最右边的连续一段 换成它左边的一个 。如刚才提到的二进制数 ,它在加上它的 lowbit 后是 。这其实得到了我们答案的前半部分。
  • 我们接下来要把答案后面的 补齐,lowbit 最右边连续一段 最左边的 移动后的位置,而 lowbit 则是 最右边连续一段 最左边的位置。还是以 为例,
  • 接下来的除法操作是这种位运算中最难理解的部分,但也是最关键的部分。我们设原数最右边连续一段 最高位的 在第 位上(位数从 开始),最低位的 在第 位,lowbit 等于 1 << (r+1)lowbit 等于 1 << l(((t&-t)/(x&-x))>>1) 得到的,就是 (1<<(r+1))/(1<<l)/2 = (1<<r)/(1<<l) = 1<<(r-l) ,在二进制表示下就是 后面跟上 个零,零的个数正好等于连续 的个数减去 。举我们刚才的数为例, 。把这个数减去 得到的就是我们要补全的低位,或上原来的数就可以得到答案。

所以枚举 按汉明权重递增的排列的完整代码为:

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for (int i = 0; (1<<i)-1 <= n; i++) {
    for (int x = (1<<i)-1, t; x <= n; t = x+(x&-x), x = x ? (t|((((t&-t)/(x&-x))>>1)-1)) : (n+1)) {
        // 写下需要完成的操作
    }
}

其中要注意 的特判,因为 没有相同汉明权重的后继。

内建函数

GCC 中还有一些用于位运算的内建函数:

  1. int __builtin_ffs(int x) :返回 的二进制末尾最后一个 的位置,位置的编号从 开始(最低位编号为 )。当 时返回

  2. int __builtin_clz(unsigned int x) :返回 的二进制的前导 的个数。当 时,结果未定义。

  3. int __builtin_ctz(unsigned int x) :返回 的二进制末尾连续 的个数。当 时,结果未定义。

  4. int __builtin_clrsb(int x) :当 的符号位为 时返回 的二进制的前导 的个数减一,否则返回 的二进制的前导 的个数减一。

  5. int __builtin_popcount(unsigned int x) :返回 的二进制中 的个数。

  6. int __builtin_parity(unsigned int x) :判断 的二进制中 的个数的奇偶性。

这些函数都可以在函数名末尾添加 lll (如 __builtin_popcountll )来使参数类型变为 ( unsigned ) long 或 ( unsigned ) long long (返回值仍然是 int 类型)。 例如,我们有时候希望求出一个数以二为底的对数,如果不考虑 0 的特殊情况,就相当于这个数二进制的位数 -1 ,而一个数 n 的二进制表示的位数可以使用 32-__builtin_clz(n) 表示,因此 31-__builtin_clz(n) 就可以求出 n 以二为底的对数。

由于这些函数是内建函数,经过了编译器的高度优化,运行速度十分快(有些甚至只需要一条指令)。

更多位数

如果需要操作的集合非常大,可以使用 bitset

题目推荐

Luogu P1225 黑白棋游戏

参考资料与注释

  1. 位运算技巧: https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html
  2. Other Builtins of GCC: https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Other-Builtins.html

  1. 适用于 C++14 以前的标准。在 C++14 和 C++17 标准中,若原值为带符号类型,且移位后的结果能被原类型的无符号版本容纳,则将该结果 转换 为相应的带符号值,否则行为未定义。在 C++20 标准中,规定了无论是带符号数还是无符号数,左移均直接舍弃移出结果类型的位。 

  2. 适用于 C++20 以前的标准。 

  3. 这种右移方式称为算术右移。在 C++20 以前的标准中,并没有规定带符号数右移运算的实现方式,大多数平台均采用算术右移。在 C++20 标准中,规定了带符号数右移运算是算术右移。 

  4. 一个数二进制表示从低往高的第一个 连同后面的零,如 lowbit,详见 树状数组。