复数

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复数

引入

注:下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二。

从方程的角度看,负实数能不能开平方,就是方程 有没有解,进而可以归结为方程 有没有解。

回顾已有的数集扩充过程,可以看到,每次扩充都与实际需求密切相关。例如,为了解决正方形对角线的度量,以及 这样的方程在有理数集中无解的问题,人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后,在实数集中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律。

依照这种思想,为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数 ,使得 是方程 的解,即使得

思考:把新引进的数 添加到实数集中,我们希望数 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律。那么,实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢?

依照以上设想,把实数 相乘,结果记作 ;把实数 相加,结果记作 。注意到所有实数以及 都可以写成 的形式,从而这些数都在扩充后的新数集中。

定义和分类

哇哦我们定义的数的性质这么好!

我们定义形如 ,其中 的数叫做 复数,其中 被称为 虚数单位,全体复数的集合叫做 复数集

复数通常用 表示,即 。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 称为复数 实部 称为复数 虚部。如无特殊说明,都有

对于一个复数 ,当且仅当 时,它是实数,当 时,它是虚数,当 时,它是纯虚数。

纯虚数,虚数,实数,复数的关系如下图所示。

性质

几何意义

我们知道了 这样类似的形式的数被称为复数,并且给出了定义和分类,我们还可以挖掘一下更深层的性质。

我们把所有实数都放在了数轴上,并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。

首先我们定义 复数相等:两个复数 是相等的,当且仅当

这么定义是十分自然的,在此不做过多解释。

也就是说,我们可以用唯一的有序实数对 表示一个复数 。这样,联想到平面直角坐标系,我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了,我们找到了复数的一种几何意义。

那么这个平面直角坐标系就不再一般,因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数,所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面 轴称为 实轴 轴称为 虚轴。我们进一步地说:复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的

我们考虑到学过的平面向量的知识,发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 ,显然,复数 对应复平面内的点 ,那么它还对应平面向量 ,于是我们又找到了复数的另一种几何意义:复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的(实数 与零向量对应)

于是,我们由向量的知识迁移到复数上来,定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 的模

于是为了方便,我们常把复数 称为点 或向量 ,并规定相等的向量表示同一个复数。

并且由向量的知识我们发现,虚数不可以比较大小(但是实数是可以的)。

运算

加法与减法

我们规定,复数的加法规则如下:

,那么

很明显,两个复数的和仍为复数。

考虑到向量的加法运算,我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则,这同样证明了复数的几何意义的正确性。

同样可以验证,复数的加法满足交换律和结合律。即:

减法作为加法的逆运算,我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则:

这同样符合向量的减法运算。

乘法与除法

我们规定,复数的乘法规则如下:

,那么

可以看出,两个复数相乘类似于两个多项式相乘,只需要把 换成 ,并将实部与虚部分别合并即可。

复数确实与多项式有关,因为复数域是实系数多项式环模掉 生成的理想。(这句话不明白其实也没有关系)

复数的乘法与向量的向量积形式类似,是由于复数集是数环。

于是容易知道,复数乘法满足交换律,结合律和对加法的分配律,即:

由于满足运算律,我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用

除法运算是乘法运算的逆运算,我们可以推导一下:

为了分母实数化,我们乘了一个 ,这个式子很有意义。

我们定义,当两个虚数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为 共轭复数。通常记 的共轭复数为 。我们可以发现,两个复数互为共轭复数,那么它们 关于实轴对称

由于向量没有除法,这里不讨论与向量的关系。

极坐标的视角

如果设定实数单位 作为水平正方向,虚数单位 作为竖直正方向,得到的就是直角坐标视角下的复平面。

表示复数 的位置,也可以借助于极坐标 确定。前文已经提到了 为复数 的模。

从实轴正向到 非零 复数 对应向量的夹角 满足关系:

称为复数 辐角,记为:

任一个 非零 复数 有无穷多个辐角。借助开头小写的 表示 其中一个特定值,满足条件:

辐角主值主辐角。辐角就是辐角主值基础上加若干整数个(可以为零或负整数)

称模小于 的复数,在复平面上构成的图形为 单位圆。称模等于 的复数为 单位复数,全体单位复数在复平面上构成的图形为 单位圆周。在不引起混淆的情况下,有时单位圆周也简称单位圆。

在极坐标的视角下,复数的乘除法变得很简单。复数乘法,模相乘,辐角相加。复数除法,模相除,辐角相减。

欧拉公式

对于复数 ,函数 满足 。给出 复指数函数 的定义:

复指数函数在实数集上与实指数函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质:

模恒正:

辐角主值:

加法定理:

周期性: 是以 为基本周期的周期函数。如果一个函数 的周期是某一周期的整倍数,称该周期为 基本周期

这里将复指数函数记为 ,是为了与下文的一般指数函数做区分。

复三角函数(也简称 三角函数)的定义,是 欧拉公式

有关欧拉公式的更多介绍,可以参考两个视频:欧拉公式与初等群论微分方程概论 - 第五章:在 3.14 分钟内理解 e^iπ

复三角函数在实数集上与实三角函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质:

奇偶性:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数。

三角恒等式:通常的三角恒等式都成立,例如平方和为 ,或者角的和差公式等。

周期性:正弦与余弦函数以 为基本周期。

零点:实正弦与实余弦函数的全体零点,构成了复正弦与复余弦函数的全体零点。这个推广没有引进新的零点。

模的无界性:复正弦与复余弦函数,模长可以大于任意给定的正数,不再像实正弦与实余弦函数一样被限制在 的范围内。

复数的三种形式

借助直角坐标系的视角以及极坐标系的视角,可以写出复数的三种形式。

复数的 代数形式 用于表示任意复数。

代数形式用于计算复数的加减乘除四个运算比较方便。

复数的 三角形式指数形式,用于表示非零复数。

这两种形式用于计算复数的乘除两个运算以及后面的运算较为方便。如果只用高中见过的函数,可以使用三角形式。如果引入了复指数函数,写成等价的指数形式会更加方便。

多值函数

在复数集之上定义的函数,函数值可能不再是一个具体的复数值,而是一个集合。

一个例子,上述定义的辐角函数 就是这样。辐角函数的函数值是 ,为一个集合。

如果对于每一个复数自变量,只有唯一的复数函数值与其对应,称为 单值函数。上述指数函数和三角函数都是单值函数。

如果对于某些复数自变量,有多于一个的复数函数值与其对应,这样的函数称为 多值函数

多值函数的函数值为集合,值域为函数值集合的集合。多值函数常常首字母大写,并规定一个对应首字母小写的单值函数称为 主值

复对数函数

规定 复对数函数(也简称 对数函数)是复指数函数的反函数。可以解得:

对数函数的定义域为 非零 复数。由于辐角函数是多值函数,因此对数函数也是多值函数。相应地,记 对数函数的主值 为:

于是对数函数可以记为:

复对数函数拥有性质:

这个性质与实对数函数相同。而对数函数的主值不满足该性质。

一般指数函数

一般指数函数 定义为:

对于任意的 非零 复数 ,一般指数函数是多值函数。

上述定义式展开是这样的:

一般指数函数的多值性来源于底数辐角的多值性。以实数单位 为底的指数函数应当是:

为底的指数函数不恒为 ,而是一个多值函数。这是因为 的辐角不一定是 ,于是根据复数乘法“模相乘辐角相加”的规则,指数的结果也是多值的。只有式中 的时候才不恒为 ,即只有主值恒为

于是一般指数函数可以记为:

可以把指数函数的主值部分与其他部分以乘积的形式分开。

以自然对数 为底的指数函数应当是:

单值函数 是以自然对数 为底的指数函数的主值。真正以 为底的指数函数是多值函数,而 是一个形式上的记号,没有幂的含义。

一般幂函数与复数乘方开方

一般幂函数 定义为:

一般幂函数的取值情况需要分类讨论。将上述定义式展开:

根据 的取值,分三种情形。

如果 为无理数或者虚数, 的值有无限多个,此时一般幂函数是多值函数,并且函数值集合为无限集。

如果 为整数,此时有:

此时 是单值函数。复数的整数次幂(乘方)是单值函数。

如果 为有理数,其中 ,此时有:

只能取 个不同的值,即 之间的值。这 个不同的值将单位圆周 等分,就是下文的单位根。

此时 是多值函数,并且可以取到有限的 个不同的值。复数的有理数次幂(开方)是多值函数,函数值集合为有限集。

这里引入一个经典结论。根据复数乘法,模相乘,辐角相加,也可以用来计算乘方和开方(整数次幂与有理数次幂)。如果 ,则有:

当模为 的时候,就得到 棣莫弗定理(De Moivre's formula):

非零复数 次方根共有 个,沿中心在原点,半径为 的圆周均匀分布,即构成内接于该圆周的正 边形的 个顶点。

单位根

在复数意义下的解是 次复根。显然,这样的解有 个,称这 个解都是 单位根单位复根(the -th root of unity)。根据复平面的知识, 次单位根把单位圆 等分。

(即幅角为 的单位复数),则 的解集表示为

如果不加说明,一般叙述的 次单位根,是指从 开始逆时针方向的第一个解,即上述 ,其它解均可以用 的幂表示。

性质

单位根有三个重要的性质。对于任意正整数 和整数

推导留给读者自证。这三个性质在快速傅里叶变换中会得到应用。

本原单位根

为什么说,上述 个解都是 次单位根,而平时说的 次单位根一般特指第一个?

特指第一个,是为了在应用时方便。

在解方程的视角看来,满足 性质的不止 一个,对于 的若干次幂也会满足性质。

称集合:

中的元素为 本原单位根。任意一个本原单位根 ,与上述 具有相同的性质:对于任意的 次幂不为 。因此,借助任意一个本原单位根,都可以生成全体单位根。

全体 次本原单位根共有 个。

C99 中的复数

在 C99 标准中,有 <complex.h> 头文件。

<complex.h> 头文件中,提供了 double complexfloat complexlong double complex 三种类型。

算术运算符'+'、'-'、'*'和'/',可以用于浮点数和复数的任意混合。当表达式两端有一个为复数时,计算结果为复数。

头文件 <complex.h> 提供了虚数单位 I,引入此头文件时,大写字母 I 不可以作为变量名使用。

对于单个复数,<complex.h> 提供了若干操作:creal 函数用于提取实部,cimag 函数用于提取虚部,cabs 函数用于计算模,carg 函数用于计算辐角主值。

所有的函数根据类型不同,都有三个。例如 creal 函数有 creal、crealf、creall 三个,用于处理对应的 doublefloatlong double 三种类型。末尾什么都不带的默认处理 double 类型。以下所有函数均遵从此规律,不再特别说明。

这些函数返回值都是一般的浮点数。可以将普通浮点数直接赋值给复数,但是不可以将复数直接赋值给浮点数,而是需要使用上述提取操作。

函数 conj 用于计算共轭复数,返回值是复数。

函数 cexp 计算复指数,clog 计算对数主值,csin 计算正弦,ccos 计算余弦,ctan 计算正切。

函数 cpow 计算幂函数,csqrt 计算平方根,casin 计算反正弦,cacos 计算反余弦,ctan 计算反正切。这部分函数计算的全部都是多值函数的主值。

C++ 中的复数

在 C 里面的 <ctype.h>,到 C++ 会变成 <cctype>,几乎所有的头文件遵从这个命名规律。

但是,<complex.h> 不遵守,C++ 没有 <ccomplex> 头文件。C++ 的复数直接是 <complex>,并且装的东西和 C 完全不一样。

很有趣。这是因为,在 C++ 的第一个版本 C++98,即已经有了 <complex>,而 C 语言在 C99 才添加。

在 C++ 中,复数类型定义使用 complex<float>complex<double>complex<long double>。由于面向对象的多态性,下面函数的名字都是唯一的,无需 f 或 l 的后缀。

一个复数对象拥有成员函数 real 和 imag,可以访问实部和虚部。

一个复数对象拥有非成员函数 real、imag、abs、arg,返回实部、虚部、模和辐角。

一个复数对象还拥有非成员函数:norm 为模的平方,conj 为共轭复数。

一个复数对象还拥有非成员函数 exp、log(底为 e 的对数主值)、log10(底为 10 的对数主值,C 中没有)、pow、sqrt、sin、cos、tan,含义与 C 中的含义相同。

在 C++14 及以后的版本中,定义了 字面量运算符 std::literals::complex_literals::""if, ""i, ""il。例如输入 100if100i100il,三者将分别返回 std::complex<float>{0.0f, 100.0f}std::complex<double>{0.0, 100.0} 以及 std::complex<long double>{0.0l, 100.0l}。这使得我们可以方便地书写形如 auto z = 4 + 3i 的复数声明。