素数

素数与合数的定义，见数论基础。

素数计数函数：小于或等于的素数的个数，用 $\pi(x)$ 表示。随着的增大，有这样的近似结果： $\pi(x) \sim \dfrac{x}{\ln(x)}$ 。

素性测试

素性测试（Primality test）可以用于判定所给自然数是否为素数。

素性测试有两种：

确定性测试：绝对确定一个数是否为素数。常见例子包括试除法、Lucas–Lehmer 测试和椭圆曲线素性证明。
概率性测试：通常比确定性测试快很多，但有可能（尽管概率很小）错误地将合数识别为质数（尽管反之则不会）。因此，通过概率素性测试的数字被称为 可能素数，直到它们的素数可以被确定性地证明。而通过测试但实际上是合数的数字则被称为 伪素数。有许多特定类型的伪素数，最常见的是费马伪素数，它们是满足费马小定理的合数。概率性测试的常见例子包括 Miller–Rabin 测试。

试除法

暴力做法自然可以枚举从小到大的每个数看是否能整除。

参考实现

C++Python

bool isPrime(int a) {
  if (a < 2) return false;
  for (int i = 2; i < a; ++i)
    if (a % i == 0) return false;
  return true;
}

def isPrime(a):
    if a < 2:
        return False
    for i in range(2, a):
        if a % i == 0:
            return False
    return True

这样做是十分稳妥了，但是真的有必要每个数都去判断吗？

很容易发现这样一个事实：如果是的约数，那么 $\frac{a}{x}$ 也是的约数。

这个结论告诉我们，对于每一对 $(x, \frac{a}{x} )$ ，只需要检验其中的一个就好了。为了方便起见，我们之考察每一对里面小的那个数。不难发现，所有这些较小数就是 $[1, \sqrt{a}]$ 这个区间里的数。

由于肯定是约数，所以不检验它。

参考实现

C++Python

bool isPrime(int a) {
  if (a < 2) return 0;
  for (int i = 2; (long long)i * i <= a; ++i)  // 防溢出
    if (a % i == 0) return 0;
  return 1;
}

def isPrime(a):
    if a < 2:
        return False
    for i in range(2, int(sqrt(a)) + 1):
        if a % i == 0:
            return False
    return True

Fermat 素性测试

Fermat 素性检验 是最简单的概率性素性检验。

我们可以根据费马小定理得出一种检验素数的思路：

基本思想是不断地选取在中的基，并检验是否每次都有 $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$ 。

参考实现

C++Python

bool millerRabin(int n) {
  if (n < 3) return n == 2;
  // test_time 为测试次数,建议设为不小于 8
  // 的整数以保证正确率,但也不宜过大,否则会影响效率
  for (int i = 1; i <= test_time; ++i) {
    int a = rand() % (n - 2) + 2;
    if (quickPow(a, n - 1, n) != 1) return false;
  }
  return true;
}

def millerRabin(n):
    if n < 3:
        return n == 2
    # test_time 为测试次数,建议设为不小于 8
    # 的整数以保证正确率,但也不宜过大,否则会影响效率
    for i in range(1, test_time + 1):
        a = random.randint(0, 32767) % (n - 2) + 2
        if quickPow(a, n - 1, n) != 1:
            return False
    return True

如果 $a^{n−1} \equiv 1 \pmod n$ 但不是素数，则被称为以为底的 伪素数。我们在实践中观察到，如果 $a^{n−1} \equiv 1 \pmod n$ ，那么通常是素数。但这里也有个反例：如果且，即使 $341 = 11 \cdot 31$ 是合数，有 $2^{340}\equiv 1 {\pmod {341}}$ 。事实上，是最小的伪素数基数。

很遗憾，费马小定理的逆定理并不成立，换言之，满足了 $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$ ，也不一定是素数。甚至有些合数满足对任意满足 $a\perp n$ 的整数均有 $a^{n−1} \equiv 1 \pmod n$ ，这样的数称为 Carmichael 数。

Carmichael 函数

对正整数，定义 Carmichael 函数（卡迈克尔函数）为对任意满足的整数，使

a^m\equiv 1\pmod n

恒成立的最小正整数 .

即：

\lambda(n)=\max\{\delta_n(a):(a,n)=1\}

Carmichael 函数有如下性质：

（Carmichael 定理）对任意素数和任意正整数，
$\lambda\left(p^r\right)=\begin{cases} \frac{1}{2}\varphi\left(p^r\right), & p=2 \land r\geq 3, \\ \varphi\left(p^r\right), & \text{otherwise}. \end{cases}$
证明

该定理等价于：

若模有原根，则 $\lambda(n)=\varphi(n)$ ，否则 $\lambda(n)=\dfrac{1}{2}\varphi(n)$ .

当模有原根时，由原根存在定理可知命题成立。否则且 $r\geq 3$ ，我们有：
$\lambda\left(2^r\right)\mid 2^{r-2}$
又由 $5^{2^{r-3}}\equiv 1+2^{r-1}\pmod{2^{r-2}}$ 知 $\lambda\left(2^r\right)>2^{r-3}$ ，因此
$\lambda\left(p^r\right)=2^{r-2}=\frac{1}{2}\varphi\left(p^r\right)$

进而有：
1. 对任意正整数，有 $\lambda(n)\mid \varphi(n)$
2. 对任意正整数，，有 $a\mid b\implies \lambda(a)\mid \lambda(b)$
令的唯一分解式为 $n=\prod_{i=1}^k p_i^{r_i}$ ，则
$\lambda(n)=\left[\lambda\left(p_1^{r_1}\right),\lambda\left(p_2^{r_2}\right),\dots,\lambda\left(p_k^{r_k}\right)\right]$
由中国剩余定理和 Carmichael 定理易证。

进而有：
1. 对任意正整数，，有 $\lambda([a,b])=[\lambda(a),\lambda(b)]$

Carmichael 数

对于合数，如果对于所有正整数，和互素，都有同余式 $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$ 成立，则合数为 Carmichael 数（卡迈克尔数，OEIS:A002997）。

比如 $561 = 3 \times 11 \times 17$ 就是一个 Carmichael 数，同时也是最小的 Carmichael 数。

我们可以用如下方法判断合数是否为 Carmichael 数：

Korselt 判别法¹

合数是 Carmichael 数当且仅当无平方因子且对的任意质因子均有 $p-1 \mid n-1$ .

上述判别法可简化为：

Carmichael 数判别法

合数是 Carmichael 数当且仅当 $\lambda(n)\mid n-1$ ，其中 $\lambda(n)$ 为 Carmichael 函数。

Carmichael 数有如下性质：

Carmichael 数无平方因子且至少有个不同的质因子。
设为小于的 Carmichael 数个数，则：
1. （Alford, Granville, Pomerance. 1994²） $C(n)>n^{2/7}$ 。
  
  由此可知 Carmichael 数有无限多个。
2. （Erdős. 1956³） $C(n)<n\exp\left(-c\dfrac{\ln n\ln\ln\ln n}{\ln\ln n}\right)$ ，其中为常数。
  
  由此可知 Carmichael 数的分布十分稀疏。实际上， $C(10^{18})=1~401~644$ ⁴。

注意

「若为 Carmichael 数，则也为 Carmichael 数」是错误的。

如 $561=3 \cdot 11 \cdot 17$ 为 Carmichael 数，考虑 $2^{561}-1$ 。

注意到 $23\cdot 89=2^{11}-1\mid 2^{561}-1$ ，由 Korselt 判别法知，若 $2^{561}-1$ 是 Carmichael 数，则和均为 $2^{561}-2$ 的因子。

而 $v_2\left(2^{561}-2\right)=1<v_2(88)=3$ ，故 $88\nmid 2^{561}-2$ ，因此 $2^{561}-1$ 不是 Carmichael 数。

Miller–Rabin 素性测试

Miller–Rabin 素性测试（Miller–Rabin primality test）是更好的素数判定方法。它是由 Miller 和 Rabin 二人根据 Fermat 素性测试优化得到的。和其它概率性素数测试一样，它也只能检测出伪素数。要确保是素数，需要用慢得多的确定性算法。然而，实际上没有已知的数字通过了 Miller–Rabin 测试等高级概率性测试但实际上却是合数，因此我们可以放心使用。

在不考虑乘法的复杂度时，对数进行轮测试的时间复杂度是 $O(k \log n)$ 。Miller-Rabbin 素性测试常用于对高精度数进行测试，此时时间复杂度是 $O(k \log^3n)$ ，利用 FFT 等技术可以优化到 $O(k \log^2n \log \log n \log \log \log n)$ 。

二次探测定理

如果是奇素数，则 $x^2 \equiv 1 \pmod p$ 的解为 $x \equiv 1 \pmod p$ 或者 $x \equiv p - 1 \pmod p$ 。

要证明该定理，只需将上面的方程移项，再使用平方差公式，得到 $(x+1)(x-1) \equiv 0 \bmod p$ ，即可得出上面的结论。

实现

根据 Carmichael 数的性质，可知其一定不是。

不妨将费马小定理和二次探测定理结合起来使用：

将 $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$ 中的指数分解为 $n−1=u \times 2^t$ ，在每轮测试中对随机出来的先求出 $v = a^{u} \bmod n$ ，之后对这个值执行最多次平方操作，若发现非平凡平方根时即可判断出其不是素数，否则再使用 Fermat 素性测试判断。

还有一些实现上的小细节：

对于一轮测试，如果某一时刻 $a^{u \times 2^s} \equiv n-1 \pmod n$ ，则之后的平方操作全都会得到，则可以直接通过本轮测试。
如果找出了一个非平凡平方根 $a^{u \times 2^s} \not\equiv n-1 \pmod n$ ，则之后的平方操作全都会得到。可以选择直接返回 false，也可以放到次平方操作后再返回 false。

这样得到了较正确的 Miller Rabin：（来自 fjzzq2002）

参考实现

C++Python

bool millerRabin(int n) {
  if (n < 3 || n % 2 == 0) return n == 2;
  if (n % 3 == 0) return n == 3;
  int u = n - 1, t = 0;
  while (u % 2 == 0) u /= 2, ++t;
  // test_time 为测试次数，建议设为不小于 8
  // 的整数以保证正确率，但也不宜过大，否则会影响效率
  for (int i = 0; i < test_time; ++i) {
    // 0, 1, n-1 可以直接通过测试, a 取值范围 [2, n-2]
    int a = rand() % (n - 3) + 2, v = quickPow(a, u, n);
    if (v == 1) continue;
    int s;
    for (s = 0; s < t; ++s) {
      if (v == n - 1) break;  // 得到平凡平方根 n-1，通过此轮测试
      v = (long long)v * v % n;
    }
    // 如果找到了非平凡平方根，则会由于无法提前 break; 而运行到 s == t
    // 如果 Fermat 素性测试无法通过，则一直运行到 s == t 前 v 都不会等于 -1
    if (s == t) return 0;
  }
  return 1;
}

def millerRabin(n):
    if n < 3 or n % 2 == 0:
        return n == 2
    if n % 3 == 0:
        return n == 3
    u, t = n - 1, 0
    while u % 2 == 0:
        u = u // 2
        t = t + 1
    # test_time 为测试次数,建议设为不小于 8
    # 的整数以保证正确率,但也不宜过大,否则会影响效率
    for i in range(test_time):
        # 0, 1, n-1 可以直接通过测试, a 取值范围 [2, n-2]
        a = random.randint(2, n - 2)
        v = pow(a, u, n)
        if v == 1:
            continue
        s = 0
        while s < t:
            if v == n - 1:
                break
            v = v * v % n
            s = s + 1
        # 如果找到了非平凡平方根，则会由于无法提前 break; 而运行到 s == t
        # 如果 Fermat 素性测试无法通过，则一直运行到 s == t 前 v 都不会等于 -1
        if s == t:
            return False
    return True

另外，假设广义 Riemann 猜想（generalized Riemann hypothesis, GRH）成立，则对数最多只需要测试 $[2, \min\{n-2, \lfloor 2\ln^2 n \rfloor\}]$ 中的全部整数即可确定数的素性，证明参见注释 7。

而在 OI 范围内，通常都是对 $[1, 2^{64})$ 范围内的数进行素性检验。对于 $[1, 2^{32})$ 范围内的数，选取 $\{2, 7, 61\}$ 三个数作为基底进行 Miller–Rabin 素性检验就可以确定素性；对于 $[1, 2^{64})$ 范围内的数，选取 $\{2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022\}$ 七个数作为基底进行 Miller–Rabin 素性检验就可以确定素性。参见注释 8。

也可以选取 $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$ （即前个素数）检验 $[1, 2^{64})$ 范围内的素数。

注意如果要使用上面的数列中的数作为基底判断的素性：

所有的数都要取一遍，不能只选小于的；
把换成 $a \bmod n$ ；
如果 $a \equiv 0 \pmod n$ 或 $a \equiv \pm 1 \pmod n$ ，则直接通过该轮测试。

反素数

顾名思义，素数就是因子只有两个的数，那么反素数，就是因子最多的数（并且因子个数相同的时候值最小），所以反素数是相对于一个集合来说的。

一种符合直觉的反素数定义是：在一个正整数集合中，因子最多并且值最小的数，就是反素数。

反素数

对于某个正整数，如果任何小于的正数的约数个数都小于的约数个数，则称为是 反素数（anti-prime, a.k.a., highly compositive numbers）。

注意

注意区分 emirp，它表示的是逐位反转后是不同素数的素数（如 149 和 941 均为 emirp，101 不是 emirp）。

过程

那么，如何来求解反素数呢？

首先，既然要求因子数，首先要做的就是素因子分解。把分解成 $n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{n}^{k_{n}}$ 的形式，其中是素数，为他的指数。这样的话总因子个数就是 $(k_1+1) \times (k_2+1) \times (k_3+1) \cdots \times (k_n+1)$ 。

但是显然质因子分解的复杂度是很高的，并且前一个数的结果不能被后面利用。所以要换个方法。

我们来观察一下反素数的特点。

反素数肯定是从开始的连续素数的幂次形式的乘积。
数值小的素数的幂次大于等于数值大的素数，即 $n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{n}^{k_{n}}$ 中，有 $k_1 \geq k_2 \geq k_3 \geq \cdots \geq k_n$ 。

解释：

如果不是从开始的连续素数，那么如果幂次不变，把素数变成数值更小的素数，那么此时因子个数不变，但是的数值变小了。交换到从开始的连续素数的时候值最小。
如果数值小的素数的幂次小于数值大的素数的幂，那么如果把这两个素数交换位置（幂次不变），那么所得的因子数量不变，但是的值变小。

另外还有两个问题，

对于给定的，要枚举到哪一个素数呢？

最极端的情况大不了就是 $n=p_{1}p_{2} \cdots p_{n}$ ，所以只要连续素数连乘到刚好小于等于就可以的呢。再大了，连全都一次幂，都用不了，当然就是用不到的啦！
我们要枚举到多少次幂呢？

我们考虑一个极端情况，当我们最小的素数的某个幂次已经比所给的（的最大值）大的话，那么展开成其他的形式，最大幂次一定小于这个幂次。unsigned long long 的最大值是 $2^{64} - 1$ ，所以可以枚举到 $2^{64} - 1$ 。

细节有了，那么我们具体如何具体实现呢？

我们可以把当前走到每一个素数前面的时候列举成一棵树的根节点，然后一层层的去找。找到什么时候停止呢？

当前走到的数字已经大于我们想要的数字了；
当前枚举的因子已经用不到了；
当前因子大于我们想要的因子了；
当前因子正好是我们想要的因子（此时判断是否需要更新最小）。

然后 dfs 里面不断一层一层枚举次数继续往下迭代可以。

例题

Codeforces 27E. A number with a given number of divisors

求具有给定除数个数的最小自然数。答案保证不超过 $10^{18}$ 。

解题思路

对于这种题，我们只要以因子数为 dfs 的返回条件基准，不断更新找到的最小值就可以了。

参考代码

#include <iostream>
unsigned long long p[16] = {
    2,  3,  5,  7,  11, 13, 17, 19,
    23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53};  // 根据数据范围可以确定使用的素数最大为53

unsigned long long ans;
unsigned long long n;

// depth: 当前在枚举第几个素数
// temp: 当前因子数量为 num的时候的数值
// num: 当前因子数
// up：上一个素数的幂，这次应该小于等于这个幂次嘛
void dfs(unsigned long long depth, unsigned long long temp,
         unsigned long long num, unsigned long long up) {
  if (num > n || depth >= 16) return;  // 边界条件
  if (num == n && ans > temp) {        // 取最小的ans
    ans = temp;
    return;
  }
  for (int i = 1; i <= up; i++) {
    if (temp * p[depth] > ans)
      break;  // 剪枝：如果加一个这个乘数的结果比ans要大，则必不是最佳方案
    dfs(depth + 1, temp = temp * p[depth], num * (i + 1),
        i);  // 取一个该乘数，进行对下一个乘数的搜索
  }
}

using std::cin;
using std::cout;

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  cin >> n;
  ans = ~(unsigned long long)0;
  dfs(0, 1, 1, 64);
  cout << ans << '\n';
  return 0;
}

ZOJ - More Divisors

求不超过的数中，除数最多的数。

解题思路

思路同上，只不过要改改 dfs 的返回条件。注意这样的题目的数据范围，32 位整数可能溢出。

参考代码

#include <iostream>

int p[16] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53};
unsigned long long n;
unsigned long long ans,
    ans_num;  // ans 为 n 以内的最大反素数（会持续更新），ans_sum 为
              // ans的因子数。

// depth: 当前在枚举第几个素数
// temp: 当前因子数量为 num的时候的数值
// num: 当前因子数
// up：上一个素数的幂，这次应该小于等于这个幂次嘛
void dfs(int depth, unsigned long long temp, unsigned long long num, int up) {
  if (depth >= 16 || temp > n) return;
  if (num > ans_num) {  // 更新答案
    ans = temp;
    ans_num = num;
  }
  if (num == ans_num && ans > temp) ans = temp;  // 更新答案
  for (int i = 1; i <= up; i++) {
    if (temp * p[depth] > n)
      break;  // 剪枝：如果加一个这个乘数的结果比ans要大，则必不是最佳方案
    dfs(depth + 1, temp *= p[depth], num * (i + 1),
        i);  // 取一个该乘数，进行对下一个乘数的搜索
  }
  return;
}

using std::cin;
using std::cout;

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  while (cin >> n) {
    ans_num = 0;
    dfs(0, 1, 1, 60);
    cout << ans << '\n';
  }
  return 0;
}

参考资料与注释

Rui-Juan Jing, Marc Moreno-Maza, Delaram Talaashrafi, "Complexity Estimates for Fourier-Motzkin Elimination", Journal of Functional Programming 16:2 (2006) pp 197-217.
数论部分第一节：素数与素性测试
Miller-Rabin 与 Pollard-Rho 学习笔记 - Bill Yang's Blog
Primality test - Wikipedia
桃子的算法笔记——反素数详解（acm/OI）
The Rabin-Miller Primality Test
Bach, Eric , "Explicit bounds for primality testing and related problems", Mathematics of Computation, 55:191 (1990) pp 355–380.
Deterministic variant of the Miller-Rabin primality test
Fermat pseudoprime - Wikipedia
Carmichael number - Wikipedia
Carmichael function - Wikipedia
Carmichael Number -- from Wolfram MathWorld
Carmichael's Lambda Function | Brilliant Math & Science Wiki
Highly composite number - Wikipedia

Korselt, A. R. (1899). "Problème chinois".L'Intermédiaire des Mathématiciens.6: 142–143. ↩
W. R. Alford; Andrew Granville; Carl Pomerance (1994). "There are Infinitely Many Carmichael Numbers".Annals of Mathematics. 140 (3): 703–722. ↩
Erdős, P. (1956). "On pseudoprimes and Carmichael numbers".Publ. Math. Debrecen. 4 (3–4): 201–206. ↩
PINCH, Richard GE. The Carmichael numbers up to ${10}^{20}$ . ↩

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