代数基本定理

定义

任何复系数一元 次多项式( 至少为 )方程在复数域上至少有一根。

由此推出, 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 个根,重根按重数计算。

有时这个定理也表述为:

任何一个非零的一元 次复系数多项式,都正好有 个复数根。

代数基本定理的证明,一般会用到复变函数或者近世代数,因此往往作为一个熟知结论直接应用。

根据代数基本定理,一个复系数多项式 一定可以唯一地分解为:

其中各个根均为复数,

虚根成对定理

代数基本定理的研究对象是复系数多项式。当对实系数多项式进行研究时,虽然也能分解出复数根,却需要将研究范围扩大,不太方便。

虚根:非实数根。

定理:实系数多项式的根的共轭复数也是该多项式的根。

证明:直接在代数基本定理的等式两端取共轭即证毕。

如果根本身是实数,则取共轭仍为它本身,不受影响。

如果根是虚根,则虚根的共轭复数也是原多项式的根。那么,两个虚根就可以配对。

定理:实数系数方程的共轭虚根一定成对出现,并且共轭虚根的重数相等。

证明:假设一个根为 ,则另一个根为 。这意味着在分解式中存在两项:

可以看到两项乘在一起,各项系数会全部变为实数。这个等式右端的二次实系数多项式整除原始的多项式。

于是,在代数基本定理的等式中,两遍同时除以这个二次三项式,得到的仍旧是实系数多项式的等式。对新等式重复操作,随着次数的下降,若干次后即不存在虚根。

因此,每对共轭虚根的重数相等。证毕。

以下是虚根成对定理的推论:

  • 实系数奇次多项式至少有一个实根,并且总共有奇数个实根。
  • 实系数偶次多项式可能没有实根,总共有偶数个实根。

称上述二次三项式 为二次实系数不可约因式。不可约是指它在实数范围内不可约。

定理:实系数多项式一定是一次或者二次实系数不可约因式的积。

证明:

只要实系数多项式有一个实根 ,就有一个实系数因式 和它对应;有一对虚根 ,就有一个实系数因式 和它对应。

因此,只要在原始的代数基本定理分解式中,利用虚根成对定理进行配对,即证毕。

根据虚根成对定理,一个实系数多项式 一定可以唯一地分解为:

其中各项系数均为实数,

林士谔算法

简介

怎样对实系数多项式进行代数基本定理的分解?如果将数域扩充至复数会很复杂。

如果只在实数范围内进行分解,只能保证,当次数大于 的时候,一定存在实系数二次三项式因式。

这是因为,如果该多项式有虚根,直接凑出一对共轭虚根即可。如果该多项式只有实根,任取两个实根对应的一次因式乘在一起,也能得到实系数二次三项式因式。

找到二次三项式因式之后,再从二次式中解实根或复根就极为容易。于是便有逐次 找出一个二次因子 来求得方程的复根的计算方法,这种方法避免了复数运算。

在 1940 年 8 月、1943 年 8 月和 1947 年 7 月,林士谔先后在 MIT 出版的《数学物理》杂志上接连正式发表了 3 篇关于解算高阶方程式复根方法的论文[^note1],每次均有改进。

这个方法今天还在现代计算机中进行快速运算,计算机程序包(如 MATLAB)中的多项式求根程序依据的原理也是这个算法。

过程

要想找到一个二次三项式因子,就要将多项式分解为:

由于无法一下子找到二次三项式因子,按照迭代求解的思路,对于初始值有:

会产生一个一次式作为余项。只要余项足够小,即可近似地找到待求因子。

我们希望最终解是初始值加一个偏移修正:

余式中的两个数 由除式的给定系数 决定。有偏导数关系:

在初始的等式中,被除式 是给定的,商式 和余式 随着除式 的变化而变化。因此有偏导数关系

注意到,偏导数只是一个数值,与变元 无关。因此有整除关系

这里的结论是,待求的偏导数,恰好是对商式继续做除法的余式。多项式对给定二次三项式的除法,直接计算即可。这里就求得了四个偏导数。

我们希望 加上偏移 得到 ,即 的相反数。因此要解方程:

从上述方程组中解得 相应的偏移 ,直接用二阶行列式求解即可。

实现

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
// a 是原始的多项式,n 是多项式次数,p 是待求的一次项,q 是待求的常数项
void Shie(double a[], int n, double *p, double *q) {
  // 数组 b 是多项式 a 除以当前迭代二次三项式的商
  memset(b, 0, sizeof(b));
  // 数组 c 是多项式 b 乘以 x 平方再除以当前迭代二次三项式的商
  memset(c, 0, sizeof(c));
  *p = 0;
  *q = 0;
  double dp = 1;
  double dq = 1;
  while (dp > eps || dp < -eps || dq > eps || dq < -eps)  // eps 自行设定
  {
    double p0 = p;
    double q0 = q;
    b[n - 2] = a[n];
    c[n - 2] = b[n - 2];
    b[n - 3] = a[n - 1] - p0 * b[n - 2];
    c[n - 3] = b[n - 3] - p0 * b[n - 2];
    int j;
    for (j = n - 4; j >= 0; j--) {
      b[j] = a[j + 2] - p0 * b[j + 1] - q0 * b[j + 2];
      c[j] = b[j] - p0 * c[j + 1] - q0 * c[j + 2];
    }
    double r = a[1] - p0 * b[0] - q0 * b[1];
    double s = a[0] - q0 * b[0];
    double rp = c[1];
    double sp = b[0] - q0 * c[2];
    double rq = c[0];
    double sq = -q0 * c[1];
    dp = (rp * s - r * sp) / (rp * sq - rq * sp);
    dq = (r * sq - rq * s) / (rp * sq - rq * sp);
    *p += dp;
    *q += dq;
  }
}

参考资料与注释

[^note1].林士谔。论劈因法解高阶特征方程根值的应用问题。数学进展,1963(03):207-217.