字符串哈希

定义

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 ,这个 称为是 Hash 函数。

我们希望这个函数 可以方便地帮我们判断两个字符串是否相等。

Hash 的思想

Hash 的核心思想在于,将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

Warning

这里的「值域较小」在不同情况下意义不同。

哈希表 中,值域需要小到能够接受线性的空间与时间复杂度。

在字符串哈希中,值域需要小到能够快速比较( 都是可以快速比较的)。

同时,为了降低哈希冲突率,值域也不能太小。

性质

具体来说,哈希函数最重要的性质可以概括为下面两条:

  1. 在 Hash 函数值不一样的时候,两个字符串一定不一样;

  2. 在 Hash 函数值一样的时候,两个字符串不一定一样(但有大概率一样,且我们当然希望它们总是一样的)。

Hash 函数值一样时原字符串却不一样的现象我们成为哈希碰撞。

解释

我们需要关注的是什么?

时间复杂度和 Hash 的准确率。

通常我们采用的是多项式 Hash 的方法,对于一个长度为 的字符串 来说,我们可以这样定义多项式 Hash 函数:。例如,对于字符串 ,其哈希函数值为

特别要说明的是,也有很多人使用的是另一种 Hash 函数的定义,即 ,这种定义下,同样的字符串 的哈希值就变为了 了。

显然,上面这两种哈希函数的定义函数都是可行的,但二者在之后会讲到的计算子串哈希值时所用的计算式是不同的,因此千万注意 不要弄混了这两种不同的 Hash 方式

由于前者的 Hash 定义计算更简便、使用人数更多、且可以类比为一个 进制数来帮助理解,所以本文下面所将要讨论的都是使用 来定义的 Hash 函数。

下面讲一下如何选择 和计算哈希碰撞的概率。

这里 需要选择一个素数(至少要比最大的字符要大), 可以任意选择。

如果我们用未知数 替代 ,那么 实际上是多项式环 上的一个多项式。考虑两个不同的字符串 ,有 。我们记 ,其中 。可以发现 是一个 阶的非零多项式。

如果 的情况下哈希碰撞,则 的一个根。由于 是一个域(等价于 是一个素数,这也是为什么 要选择素数的原因)的时候,最多有 个根,如果我们保证 是从 之间均匀随机选取的,那么 碰撞的概率可以估计为 。简单验算一下,可以发现如果两个字符串长度都是 的时候,哈希碰撞的概率为 ,此时不可能发生碰撞。

实现

参考代码:(效率低下的版本,实际使用时一般不会这么写)

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
// C++ Version
using std::string;

const int M = 1e9 + 7;
const int B = 233;

typedef long long ll;

int get_hash(const string& s) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
    res = (ll)(res * B + s[i]) % M;
  }
  return res;
}

bool cmp(const string& s, const string& t) {
  return get_hash(s) == get_hash(t);
}
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
# Python Version
M = int(1e9 + 7)
B = 233

def get_hash(s):
    res = 0
    for char in s:
        res = (res * B + ord(char)) % M
    return res

def cmp(s, t):
    return get_hash(s) == get_hash(t)

Hash 的分析与改进

错误率

若进行 次比较,每次错误率 ,那么总错误率是 。在随机数据下,若 ,错误率约为 ,并不是能够完全忽略不计的。

所以,进行字符串哈希时,经常会对两个大质数分别取模,这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积,错误率就非常小了。

多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是 ,其中 为串长,与暴力匹配没有区别,如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值,每次重新计算效率非常低下。

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值,将哈希值看成一个 进制的数对 取模的结果,这样的话每次就能快速求出子串的哈希了:

表示 ,即原串长度为 的前缀的哈希值,那么按照定义有

现在,我们想要用类似前缀和的方式快速求出 ,按照定义有字符串 的哈希值为

对比观察上述两个式子,我们发现 成立(可以手动代入验证一下),因此我们用这个式子就可以快速得到子串的哈希值。其中 可以 的预处理出来然后 的回答每次询问(当然也可以快速幂 的回答每次询问)。

Hash 的应用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后,求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值,分别与模式串的哈希值比较即可。

允许 次失配的字符串匹配

问题:给定长为 的源串 ,以及长度为 的模式串 ,要求查找源串中有多少子串与模式串匹配。 匹配,当且仅当 长度相同,且最多有 个位置字符不同。其中

这道题无法使用 KMP 解决,但是可以通过哈希 + 二分来解决。

枚举所有可能匹配的子串,假设现在枚举的子串为 ,通过哈希 + 二分可以快速找到 第一个不同的位置。之后将 在这个失配位置及之前的部分删除掉,继续查找下一个失配位置。这样的过程最多发生 次。

总的时间复杂度为

最长回文子串

二分答案,判断是否可行时枚举回文中心(对称轴),哈希判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的哈希值。时间复杂度

这个问题可以使用 manacher 算法 的时间内解决。

通过哈希同样可以 解决这个问题,具体方法就是记 表示以 作为结尾的最长回文的长度,那么答案就是 。考虑到 ,因此我们只需要暴力从 开始递减,直到找到第一个回文即可。记变量 表示当前枚举的 ,初始时为 ,则 在每次 增大的时候都会增大 ,之后每次暴力循环都会减少 ,故暴力循环最多发生 次,总的时间复杂度为

最长公共子字符串

问题:给定 个总长不超过 的非空字符串,查找所有字符串的最长公共子字符串,如果有多个,任意输出其中一个。其中

很显然如果存在长度为 的最长公共子字符串,那么 的公共子字符串也必定存在。因此我们可以二分最长公共子字符串的长度。假设现在的长度为 check(k) 的逻辑为我们将所有所有字符串的长度为 的子串分别进行哈希,将哈希值放入 个哈希表中存储。之后求交集即可。

时间复杂度为

确定字符串中不同子字符串的数量

问题:给定长为 的字符串,仅由小写英文字母组成,查找该字符串中不同子串的数量。

为了解决这个问题,我们遍历了所有长度为 的子串。对于每个长度为 ,我们将其 Hash 值乘以相同的 的幂次方,并存入一个数组中。数组中不同元素的数量等于字符串中长度不同的子串的数量,并此数字将添加到最终答案中。

为了方便起见,我们将使用 作为 Hash 的前缀字符,并定义

参考代码
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
int count_unique_substrings(string const& s) {
  int n = s.size();

  const int b = 31;
  const int m = 1e9 + 9;
  vector<long long> b_pow(n);
  b_pow[0] = 1;
  for (int i = 1; i < n; i++) b_pow[i] = (b_pow[i - 1] * b) % m;

  vector<long long> h(n + 1, 0);
  for (int i = 0; i < n; i++)
    h[i + 1] = (h[i] + (s[i] - 'a' + 1) * b_pow[i]) % m;

  int cnt = 0;
  for (int l = 1; l <= n; l++) {
    set<long long> hs;
    for (int i = 0; i <= n - l; i++) {
      long long cur_h = (h[i + l] + m - h[i]) % m;
      cur_h = (cur_h * b_pow[n - i - 1]) % m;
      hs.insert(cur_h);
    }
    cnt += hs.size();
  }
  return cnt;
}

例题

CF1200E Compress Words

给你若干个字符串,答案串初始为空。第 步将第 个字符串加到答案串的后面,但是尽量地去掉重复部分(即去掉一个最长的、是原答案串的后缀、也是第 个串的前缀的字符串),求最后得到的字符串。

字符串个数不超过 ,总长不超过

题解

每次需要求最长的、是原答案串的后缀、也是第 个串的前缀的字符串。枚举这个串的长度,哈希比较即可。

当然,这道题也可以使用 KMP 算法 解决。

参考代码
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int L = 1e6 + 5;
const int HASH_CNT = 2;

int hashBase[HASH_CNT] = {29, 31};
int hashMod[HASH_CNT] = {int(1e9 + 9), 998244353};

struct StringWithHash {
  char s[L];
  int ls;
  int hsh[HASH_CNT][L];
  int pwMod[HASH_CNT][L];

  void init() {  // 初始化
    ls = 0;
    for (int i = 0; i < HASH_CNT; ++i) {
      hsh[i][0] = 0;
      pwMod[i][0] = 1;
    }
  }

  StringWithHash() { init(); }

  void extend(char c) {
    s[++ls] = c;                          // 记录字符数和每一个字符
    for (int i = 0; i < HASH_CNT; ++i) {  // 双哈希的预处理
      pwMod[i][ls] =
          1ll * pwMod[i][ls - 1] * hashBase[i] % hashMod[i];  // 得到b^ls
      hsh[i][ls] = (1ll * hsh[i][ls - 1] * hashBase[i] + c) % hashMod[i];
    }
  }

  vector<int> getHash(int l, int r) {  // 得到哈希值
    vector<int> res(HASH_CNT, 0);
    for (int i = 0; i < HASH_CNT; ++i) {
      int t =
          (hsh[i][r] - 1ll * hsh[i][l - 1] * pwMod[i][r - l + 1]) % hashMod[i];
      t = (t + hashMod[i]) % hashMod[i];
      res[i] = t;
    }
    return res;
  }
};

bool equal(const vector<int> &h1, const vector<int> &h2) {
  assert(h1.size() == h2.size());
  for (unsigned i = 0; i < h1.size(); i++)
    if (h1[i] != h2[i]) return false;
  return true;
}

int n;
StringWithHash s, t;
char str[L];

void work() {
  int len = strlen(str);  // 取字符串长度
  t.init();
  for (int j = 0; j < len; ++j) t.extend(str[j]);
  int d = 0;
  for (int j = min(len, s.ls); j >= 1; --j) {
    if (equal(t.getHash(1, j), s.getHash(s.ls - j + 1, s.ls))) {  // 比较哈希值
      d = j;
      break;
    }
  }
  for (int j = d; j < len; ++j) s.extend(str[j]);  // 更新答案数组
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    scanf("%s", str);
    work();
  }
  printf("%s\n", s.s + 1);
  return 0;
}

本页面部分内容译自博文 строковый хеш 与其英文翻译版 String Hashing。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。